回答
 　唱歌として掲載されている資料は見つからず。
歌詞は『梅１』および『梅2』（法政大学出版会）、メロディーは『ひらけ！ポンキッキヒット曲集』（ドレミ楽譜出版社）を参照。

調査のあしあと
　定番の『日本のうた』（野ばら社）、『日本の唱歌』（講談社）や童謡、唱歌の専門サイトを見るが見当たらない。インターネットで検索すると元は尋常小学校の「唱歌」ではなく「読本」に載っていたこと、昭和に入ってテレビ番組『ひらけ！ポンキッキ』で放送されていたこと等がわかる。
歌詞のみであれば梅や梅干に関連したものに見つかり、『日本教科書体系　近代編』（講談社）を底本にした上記資料を提供。
メロディについては、どの時点で誰が付けたものか不明であるが、上記資料は歌詞・楽曲ともにアレンジがあるものの「作曲者不詳、関田昇介　編曲」とあり質問者の歌にも類似しているため、ある程度伝承のメロディーに近いものと思われる。